Généralités

L'enjeu de la reconstruction des vertex secondaires, déplacés par rapport à l'axe du faisceau, est à la fois d'associer les traces reconstruites d'un événement à un ensemble de $n+1$ vertex$^($²⁰$^)$ et de positionner précisément ces vertex. Par exemple, pour un événement contenant une trentaine de traces et en considérant quatre vertex, le nombre de combinaisons possibles est de plus d'un milliard. Il est donc clair que nous n'avons pas le temps d'essayer toutes les combinaisons possibles et de comparer leur $\chi^2$ (le $\chi^2$ le plus faible donnant la meilleure combinaison possible).

Une autre solution consiste à associer chaque vertex à une paire de traces puis de calculer le $\chi^2$ de chaque autre trace pour savoir avec quel vertex celle-ci doit être associée. Chaque décision d'association est alors prise localement (une trace à la fois) et on risque de trouver des solutions locales et non globales (figure ).

Il y a fort longtemps, les alchimistes ont résolu ce problème en découvrant une façon intelligente d'éviter les minimums locaux. Leur métal devenait très cassant lorsqu'il refroidissait trop vite, mais un lent refroidissement (figure ) laissait aux molécules le temps de s'installer niveau d'énergie global le plus bas (système pouvant être décrit par une distribution de Boltzman), ce qui a contribué à avoir une structure plus régulière et donc plus résistante. Cette technique est appelée " Elastic Arms" (EA) à cause de la relation d'association variable ("elastic") entre les vertex et les traces ("arms").

Figure: A partir de 4 traces simulées provenant du même vertex primaire, on cherche à associer les traces reconstruites à un même vertex reconstruit. On remarque que le vertex reconstruit par la méthode locale (à gauche) n'est associé qu'á trois traces alors que le vertex reconstruit par la méthode globale (à droite) est bien associé aux quatre traces.

Figure: Un refroidissement rapide conduit à un niveau d'énergie plus faible mais qui est minimum local alors qu'un refroidissement plus lent conduit au niveau d'énergie minimum qui est le minimum global.

Une façon d'appliquer cette idée d'EA à la recherche de vertex secondaires est de choisir une distribution de Boltzman en $\chi^2$, contrairement à une simple coupure fixée en $\chi^2$. En d'autres termes, de tester chaque solution possible à l'aide d'une série de solutions en requérant un $\chi^2$ de reconstruction minimum et en abaissant petit à petit la température (celle de la distribution de Boltzman) jusqu'à un seuil. Ce $\chi^2$ peut être considéré comme une énergie; cette énergie est d'autant plus importante que les traces sont éloignées des vertex auxquels elles sont associées. Le but est donc de minimiser cette énergie. A l'aide d'itérations successives, ces multiples vertex reconstruits vont progressivement se déplacer vers leur véritable position $(x, y, z)$ et lorsque la température du système s'est suffisamment abaissée, les paramètres devraient être proches des paramètres simulés.

L'algorithme EA a été développé au début des années 90 dans la cadre de l'expérience DELPHI par Ohlsson, Peterson et Yuille [OHL92] pour la reconstruction des traces en associant correctement les "hits" aux traces.

En s'appuyant sur ces idées, l'algorithme EA a pour objectif de trouver à la fois le nombre exact de vertex et de reconstruire précisément leur position à partir des traces reconstruites.